Теорема эрроу о невозможности и ее эффективность. Научная электронная библиотека Какая из систем голосования называется теорией невозможности

Парадокс теории общественного выбора впервые описан маркизом Кондорсе в 1785 году, которая в 50-х годах прошлого столетия была удачно обобщена американским ученым экономистом К. Arrow. Теорема Эрроу отвечает на очень простой вопрос в теории коллективного принятия решений. Скажем, есть несколько вариантов для выбора в вопросах политики, публичных проектов или распределения доходов и есть люди, чьи предпочтения определяют этот выбор.

Вопрос состоит в том, какие существуют процедуры для качественного определения выбора. И как узнать о предпочтениях, о коллективном или социальном упорядочении альтернатив, от лучших к худшим. Ответ Arrow на этот вопрос многих удивил.

В теореме Эрроу говорится, что таких процедур вообще нет - в любом случае они не отвечают определенным и вполне разумным предпочтениям людей. Техническая структура, в которой Эрроу дал ясный смысл проблеме социального заказа, и его строгий ответ в настоящее время широко используются для изучения проблем в социальной экономике. Сама теорема легла в основу современной теории общественного выбора.

Теорема Эрроу показывает, что если у избирателей есть хотя бы три альтернативы, то не существует избирательной системы, которая могла бы трансформировать выбор отдельных людей в общественное мнение.

Шокирующее заявление исходило от экономиста и нобелевского лауреата Кеннета Джозефа Эрроу, который продемонстрировал этот парадокс в докторской диссертации и популяризировал его в книге «Социальный выбор и индивидуальные ценности», изданной в 1951 году. Оригинальная статья имеет название «Трудности в концепции социального обеспечения».

В теореме Эрроу говорится, что невозможно разработать избирательную систему с порядком, которая всегда соответствовала бы справедливым критериям:

1. Когда избиратель выбирает альтернативу X против Y, то сообщество избирателей предпочтет X, а не Y. Если выборы каждого из избирателей X и Y останутся без изменений, тогда и выбор общества X и Y будет таким же, даже если избиратели выберут другие пары X и Z, Y и Z или Z и W.
2. Нет «диктатора выбора», потому что один избиратель не может влиять на выбор группы.
3. Существующие избирательные системы не охватывают нужные требования, поскольку они предоставляют больше информации, чем порядковый ранг.

Системы государственного социального управления

Хотя американский экономист Кеннет Эрроу получил Нобелевскую премию по экономике, работа принесла больше пользы для развития социальных наук, поскольку теорема «О невозможности» Эрроу положила начало совершенно новому направлению экономики - социальному выбору. Эта отрасль пытается математически проанализировать принятие совместных решений, в частности в области систем государственного социального управления.

Выбор - это демократия в действии. Люди идут на выборы и выражают свои предпочтения, и в итоге, предпочтения многих людей должны объединиться, чтобы принять совместное решение. Вот почему выбор метода голосования очень важен. Но есть ли идеальное голосование в действительности? Согласно результатам теории Эрроу, полученным в 1950 году, ответ отрицательный. Если под «идеальным» подразумевается преференциальный метод голосования, который соответствует критериям, определенных разумных методов голосования.

Предпочтительным методом голосования является ранжирование, когда избиратели оценивают всех кандидатов в соответствии с предпочтениями, и на основе этих оценок получается результат: еще один список всех кандидатов, которые должны быть представлены общей волей людей. По теореме «О невозможности» Эрроу можно указать разумный способ голосования:

1. Без диктаторов (ND) - результат не всегда должен совпадать с оценкой одного конкретного человека.
2. Эффективность Парето (РЕ)- если каждый избиратель предпочитает кандидата А кандидату В, то в результате следует указать кандидата А над кандидатом Б.
3. Независимость несовместимых альтернатив (IIA)- относительная оценка результатов кандидатов A, B и не должна изменяться, если избиратели изменят оценку других кандидатов, но не изменят свои относительные оценки A и B.

По условиям теоремы Эрроу выходит, что в случае выборов с тремя и более критериями, не существует функций социального выбора, которые бы одновременно подходили бы для ND, PE и IIA.

Рациональная система выбора

Необходимость агрегирования предпочтений проявляется во многих областях жизнедеятельности людей:

1. Экономика благосостояния использует микроэкономические методы для оценки благосостояния на совокупном общеэкономическом уровне. Типичная методология начинается с выведения или предположения функции социального обеспечения, которая затем может быть использована для ранжирования экономически обоснованных распределений ресурсов с точки зрения социального обеспечения. В этом случае, государства пытаются найти экономически приемлемый и стабильный результат.
2. В теории принятия решений, когда человек должен сделать рациональный выбор по нескольким критериям.
3. В избирательных системах, которые являются механизмами, чтобы найти единое решение из предпочтений многих избирателей.

По условиям теоремы Эрроу различают порядок предпочтений для данного набора параметров (результатов). Каждая единица в обществе или каждый присваивает определенный порядок предпочтений в отношении набора результатов. Общество ищет систему голосования на основе рейтинга, называемую функцией социального обеспечения.

Это правило агрегирования предпочтений преобразует набор профиля предпочтений в один глобальный публичный порядок. Утверждение Эрроу гласит, что, если в руководящем органе есть, по крайней мере, два избирателя и три критерия выбора, невозможно создать функцию социального обеспечения, которая будет удовлетворять всем этим условиям сразу.

Для каждого набора индивидуальных предпочтений избирателей функция социального обеспечения должна выполнять уникальный и всеобъемлющий рейтинг общественного отбора:

1. Это должно быть сделано таким образом, чтобы результатом была полная оценка предпочтений аудитории.
2. Должны детерминистически давать одинаковую оценку, когда предпочтения избирателей кажутся одинаковыми.

Независимость от нерелевантных альтернатив (IIA)

Выбор между X и Y связан исключительно с предпочтениями индивида между X и Y - это независимость в парах (попарная независимость), согласно теореме Эрроу «О невозможности демократии». При этом изменение оценки человека нерелевантных альтернатив, расположенных вне таких групп, не оказывает влияния на социальную оценку данного подмножества. Например, представление третьего кандидата на выборах с двумя кандидатами не оказывает влияние на результат выборов, если только третий кандидат не победит.

Обществу присуще однообразие и положительное сочетание социальных и индивидуальных ценностей. Если человек меняет свой порядок предпочтений, продвигая определенный вариант, то порядок предпочтений общества должен соответствовать тому же варианту без изменения. Человек не должен быть в состоянии навредить опциону, оценивая его выше.

В теореме «О невозможности» эффективность и справедливость в обществе обеспечиваются через суверенитет гражданина. Каждый возможный общественный порядок предпочтений должен быть достижим с помощью некоторого набора индивидуальных порядков предпочтений. Это означает, что функция социального обеспечения сюръективна - у нее неограниченное целевое пространство. Более поздняя (1963 год) версия теоремы Эрроу заменила критерии монотонности и отсутствия наложения.

Парето. Эффективность или единодушие?

Если каждый человек предпочитает определенный вариант другому, то порядок социальных предпочтений также должен это делать. Необходимо, чтобы функция социального обеспечения была минимально чувствительной к профилю предпочтений. Эта поздняя версия является более общей и имеет несколько слабые условия. Аксиомы однообразия, отсутствие перекрытия вместе с IIA , обозначают эффективность Парето. В то же время она не предполагает наложения IIA и не подразумевает монотонность.

IIA имеет три цели:

1. Стандартная. Нерелевантные альтернативы не должны иметь значения.
2. Практическая. Использование минимальной информации.
3. Стратегическая. Обеспечение правильных стимулов для истинного определения индивидуальных предпочтений. Хотя стратегическая цель концептуально отличается от IIA, они тесно связаны.

Эффективность по Парето, названная в честь итальянского экономиста и политолога (1848-1923 гг.), используется в неоклассической экономике наряду с теоретической концепцией совершенной конкуренции в качестве ориентира для оценки эффективности реальных рынков. Нужно отметить, что ни один из результатов не достигается за пределами экономической теории. Гипотетически, если бы существовала совершенная конкуренция и ресурсы использовались с максимальной эффективностью, то у каждого был бы самый высокий уровень жизни, или эффективность по Парето.

На практике невозможно предпринять какие-либо социальные действия, такие как изменение экономической политики, без ухудшения положения хотя бы одного человека, поэтому концепция улучшения по Парето нашла более широкое применение в экономике. Улучшение по Парето происходит, когда изменение в распределении никому не вредит и помогает, по крайней мере, одному человеку, учитывая первоначальное распределение товаров для группы лиц. Теория предполагает, что улучшения по Парето будут продолжать увеличивать ценность для экономики до тех пор, пока не будет достигнуто равновесие по Парето, когда больше никаких улучшений не может быть сделано.

Формальное изложение теоремы

Пусть A будет набором результатов, N количеством избирателей или критериев принятия решения. Обозначают множество всех полных линейных упорядочений из А на L (A). Строгая функция социального обеспечения (правило агрегации предпочтений) является функцией которая, агрегирует предпочтения избирателей в разовом порядке предпочтения на A.

N - кортеж (R 1, ..., R N) ∈ L (A) N предпочтений избирателей называется профилем предпочтений. В своей самой сильной и простой форме теорема Эрроу о невозможности гласит, что всякий раз, когда множество возможных альтернатив A имеет более 2 элементов, следующие три условия становятся несовместимыми:

1. Единодушие, или слабая эффективность по Парето. Если альтернатива A ранжируется строго выше B для всех порядков R 1,…, R N, то A ранжируется строго выше B на F (R 1, R 2,…, R N). При этом единодушие подразумевает отсутствие навязывания.
2. Non-диктатура. Нет индивидуального "Я", чьи строгие предпочтения всегда превалируют. То есть, нет Я ∈ {1, ..., N } , что для всех (R 1 , ..., R N) ∈ L (А) Н, занимает строго выше, чем B от R. "Я" занимает строго выше, чем B по F (R 1 , R 2 ,…, R N) , для всех A и B.
3. Независимость от неактуальных альтернатив. Для двух профилей предпочтений (R 1,…, R N) и (S 1,…, S N), таких, что для всех индивидуумов I альтернативы A и B имеют тот же порядок в R i, что и в S i, альтернативы A и B, имеют тот же порядок в F (R 1, R 2,…, R N), что и в F (S 1, S2,…, S N).

Хотя теорема «О невозможности» доказана математически, ее часто выражают нематематическим способом с помощью такого утверждения, что ни один из методов голосования не является справедливым, каждый ранжированный метод голосования имеет недостатки, или единственный метод голосования, который не является ошибочным, - это диктатура. Эти утверждения являются упрощением результата Эрроу, который не всегда считается верным. Теорема Эрроу утверждает, что детерминированный механизм преимущественного голосования, то есть тот, в котором порядок предпочтений является единственной информацией при голосовании, а любой возможный набор голосов дает уникальный результат, не может соответствовать одновременно всем условиям, указанным выше.

Различные теоретики предлагали ослабить критерий IIA как выход из парадокса. Сторонники рейтинговых методов голосования утверждают, что IIA является неоправданно сильным критерием, который нарушен в большинстве полезных избирательных систем. Сторонники этой позиции указывают на то, что несоблюдение стандартного критерия IIA тривиально подразумевается возможностью циклических предпочтений. Если избиратели голосуют следующим образом:

• 1 голос за A> B> C;
• 1 голос за B> C> A;
• 1 голос за C> A> B.

Тогда предпочтение группы в парном большинстве состоит в том, что A выигрывает у B, B выигрывает у C, а C выигрывает у A и это дает предпочтение «ножницы-рок-ножницы» для любого парного сравнения.

В этом случае любое правило агрегации, которые удовлетворяет основному мажоритарному требованию о том, что кандидат, получивший большинство голосов, должно победить на выборах, не будет соответствовать критерию IIA, если социальные предпочтения должны быть транзитивными или ациклическими. Чтобы увидеть это, предполагают, что такое правило удовлетворяет IIA. Поскольку предпочтения большинства соблюдаются, общество отдает предпочтение A - B (два голоса за A> B и один за B> A), B - C и C - A. Таким образом, создается цикл, который противоречит предположению о том, что социальные предпочтения транзитивны.

Итак, теорема Эрроу действительно показывает, что любая избирательная система с большинством побед - нетривиальная игра, и что теория игр должна использоваться для прогнозирования результатов большинства механизмов голосования. Это может рассматриваться как обескураживающий результат, потому что игра не должна иметь эффективных равновесий, например, голосование может привести к альтернативе, которую никто в действительности не хотел, но за нее проголосовали все.

Социальный выбор вместо предпочтений

Рациональный коллективный выбор механизма голосования по теореме Эрроу не является целью принятия социальных решений. Часто достаточно найти какую-то альтернативу. Подход, сфокусированный на выборе альтернативы, исследует либо функции социального выбора, которые отображают каждый профиль предпочтений, либо правила социального выбора - функции, которые отображают каждый профиль предпочтений в подмножество альтернатив.

Что касается функций социального выбора, то хорошо известна теорема Гиббарда-Саттертвейта, которая гласит, что если функция социального выбора, диапазон которой содержит хотя бы три альтернативы, является стратегически устойчивой, то она является диктаторской. Рассматривая правила социального выбора, считают, что за ними стоят социальные предпочтения.

То есть рассматривают правило, как выбор максимальных элементов - лучших альтернатив какого-либо социального предпочтения. Множество максимальных элементов социального предпочтения называется ядром. Условия существования альтернативы в ядре исследовались в двух подходах. Первый подход предполагает, что предпочтения являются, по меньшей мере, ациклическими, что необходимо и достаточно для того, чтобы предпочтения имели максимальный элемент в любом конечном подмножестве.

По этой причине это тесно связано с расслабляющей транзитивностью. Второй подход отбрасывает предположение об ациклических предпочтениях. Кумабе и Михара приняли этот подход. Они сделали более последовательное предположение, что индивидуальные предпочтения имеют максимальное значение.

Существует несколько показателей неприятия риска, выраженных функцией полезности в теореме Эрроу Пратта. Абсолютное неприятие риска - чем выше кривизна u (c), тем выше неприятие риска. Однако, поскольку ожидаемые функции полезности не определены однозначно, необходима мера, остается постоянной по отношению к этим преобразованиям. Одна из таких мер является Эрроу-Pratt мера абсолютного неприятия риска (ARA), после того как экономисты Кеннет Эрроу и Джон У. Pratt определили коэффициент абсолютного неприятия риска, как

A (c) = - {u "" (c)}/ {u "(c)},

где: u "(c) и u "" (c) обозначают первую и вторую производные по отношению к "с" из "u (c)".

Экспериментальные и эмпирические данные в основном соответствуют снижению абсолютного неприятия риска. Мера относительного неприятия риска Эрроу Пратта (АСР) или коэффициента относительного неприятия риска определяется:

R (c) = cA (c) = {-cu "" (c)} /{u "(c) R (c).

Как и в случае абсолютного неприятия риска, используются соответствующие термины постоянное относительное неприятие риска (CRRA) и уменьшение / увеличение относительного неприятия риска (DRRA / IRRA). Преимущество этой величины состоит в том, что она все еще является действительной мерой неприятия риска, даже если функция полезности изменяется от склонности к риску, то есть полезность не является строго выпуклой / вогнутой по всем «c». Постоянный RRA подразумевает уменьшение ARA теории Эрроу Пратта, но обратное не всегда верно. В качестве конкретного примера неприятия постоянного относительного риска, функция полезности: u (c) = log (c), подразумевает RRA = 1.

Левый график: функция полезности, предотвращающая риск, является вогнутой снизу, а функция полезности, склонная к риску, является выпуклой. Средний график - в пространстве ожидаемых значений стандартного отклонения, кривые безразличия к риску имеют наклон вверх. Правый график - с фиксированными вероятностями двух альтернативных состояний 1 и 2 кривые безразличия, не склонные к риску, по парам результатов, зависящих от состояния, являются выпуклыми.

Первоначально Эрроу отверг кардинальную полезность, как важный инструмент выражения социального благополучия, поэтому он сконцентрировал свои требования на ранжировании предпочтений, но позже пришел к выводу, что кардинальная рейтинговая система с тремя или четырьмя классами является вероятно, лучшей. Общественный выбор по теореме «О невозможности» предполагает, что индивидуальные и социальные предпочтения являются упорядоченными, то есть удовлетворенность полнотой и транзитивностью в различных альтернативах. Это означает, что, если предпочтения представлены функцией полезности, ее значение полезно в том смысле, что оно имеет смысл, поскольку более высокое значение означает лучшую альтернативу.

Практические приложения теоремы используется для оценки широких категорий систем голосования. Главный аргумент Эрроу утверждает, что системы голосования по порядку должны всегда нарушать, по крайней мере, один из критериев справедливости, которые он изложил. Практическим следствием этого является то, что системы голосования, которые не приведены в порядок, должны быть изучены. Например, рейтинговые системы голосования, где избиратели дают каждому кандидату баллы могут соответствовать всем критериям Эрроу.

На самом деле механизм голосования, рациональный коллективный выбор по Теореме Эрроу и последующий диалог, невероятно вводили в заблуждение в области избирательной. Часто студенты и неспециалисты считают, что ни одна система голосования не могут соответствовать критериям справедливости Эрроу, тогда как, на самом деле, рейтинговые системы способны соответствовать и удовлетворяют всем критериям Эрроу.

Суть теоремы “невозможности” Эрроу, состоит в том, что не существует возможность найти демократические правила для коллективного выбора решения относительно общего блага, основы­ ваясь на порядке предпочтений отдельных индивидов. В основе до­казательства теоремы “невозможности” лежит “парадокс голосова­ния”, открытый Кондорсе в 1785 г.

Кондорсе установил, что если существует разный порядок пред­почтений у трех индивидов, и они принимают коллективное решение на основе правила простого большинства, то удовлетворительное решение демократическим путем не может быть найдено. Оно может быть достигнуто либо “диктаторски”, либо с помощью манипуляции.

Пусть имеются три индивида (1, 2, 3) с предпочтениями А, В, С, которые упорядочены следующим образом:

1. А > В > С

2. С > А > В

3. В > С > А

А, В и С являются альтернативами, из которых осуществляется ныбор. Альтернативы могут касаться различных политических идео-./loriiii (капитализм, социализм, коммунизм), различных политичес­ких программ (повысить налоги, понизить налоги, оставить все по-прежнему), различных кандидатов (Ельцин, Зюганов, Жиринов­ский) и т.д. Если выбор осуществляется последовательно из пары альтернатив, то при сравнении альтернатив А и В по большинству голосов должна победить альтернатива А, так как первый и второй индивид А предпочитают В. Если речь идет об альтернативах В и С, то выберут альтернативу В. При сравнении альтернатив С и А пре­имуществом обладает альтернатива С. Так как групповые предпочте­ния здесь не являются транзитивными, т.е. отсутствует условие, при котором, если А > В, а В > С, то А > С, следовательно групповой ныбор в соответствии с правилом большинства сделать невозможно.

Общие предпосылки теоретического описания объединения пред­почтений посредством голосования сводятся к следующему.

1. Индивиды знают свои предпочтения, и они являются фиксиро­ванными.

2. Они знают и способны оценивать все альтернативы.

3. Правила игр известны и поняты всеми.

4. Каждый индивид является рациональным и не страдает от ин­формационной перегрузки или от вычислительных проблем при при­нятии решения.

5. Возможно рассматривать проблему социального выбора в ста­тическом контексте, т.е. статическая модель служит в качестве ра­зумного приближения к такому реальному процессу социального вы­бора, как голосование (см.: Shubik, 1982, р. 386).

Эрроу наряду с этим особо выделяет такие предпосылки рацио­нального выбора, совокупность которых никогда, по его мнению, не может быть свойственна коллективному выбору, т.е. последний всегда будет или “диктаторским” (навязанным) или достигнут с помо­ щью манипуляции. К числу таких предпосылок относятся: (1) тран-штивность предпочтений, т.е., если А > В, а В > С, то А > С (см. интересное замечание по поводу этой предпосылки Эрроу у Роберта Даля (Даль, 1992, с. 48 - 49)); (2) результативность выборов, т.е. иыбор возможен при любом сочетании предпочтений; (3) “независи­мость иррелевантных альтернатив”, т.е. возможность попарного “равнения имеющихся альтернатив безотносительно к другим альтер­нативам; (4) “позитивная связь индивидуальных и социальных цен­ностей”, т.е. персупорядочивание одним индивидом своих предпочте­нии в пользу альтернативы X, когда никто другой не изменял своих предпочтении, не должно вести к понижению этой альтернативы при коллективном упорядочивании; (5) оптимальность выбора, при кото­рой он не должен быть ни диктаторским, ни навязанным (маиипули-руемым). Под диктаторским он понимает выбор, при котором при­нимается упорядочивание одного индивида независимо от других по­рядков предпочтений. Под навязанным понимается выбор между днумя альтернативами, независимо от всех возможных комбинаций индивидуальных порядков.

Теорема “невозможности” Эрроу, однако, имеет свои ограниче­ния, связанные с положенными в ней предпосылками и с общим вы-модом о невозможности коллективной рациональности. Во-первых, коллективный выбор может зависеть от порядка рассматриваемых пар предпочтений. Во-вторых, ограниченным считается рассмотрение:) РР°У предпочтений “в одном пакете” при однолинейном их распо-"южении. В-третьих, теорема не допускает интервального измерения полезности предпочтений, следовательно, влияния иррелевантных альтернатив. Решения, полученные при использовании “дилеммы уз­ника” и теоремы Нэша, которые основываются на интервальных шкалах, показали иной результат. В-четвертых, подчеркивается зна­чите так называемого стратегического аспекта голосования, при ко-1ором важное значение приобретает знание об альтернативах других.(“торов. В-пятых, как указывает Даль, при дальнейшем ограничении \тловий индивидуального выбора (например, порядок предпочтении должен быть однопнковым) метод большинства приведет к решени-мм, которые будут одновременно транзитивными и не навязанными и иг диктаторскими (Даль, 1992, с. 49; см. также: Alker, 1964, Р 144-145; Shubik, 1982, р. 386-388; Stefansson, 1995, р. 433-Ш; Mihara, 1997, р. 257-276).

^ 3.4. Принцип “медианного избирателя”

Принцип “медианного избирателя” является сердцевиной про-* iранственной теории голосования с одним измерением (spatial vot­ing theory in one dimension). Три главных элемента данной теории

нужно иметь в виду для анализа политики: предпочтения тех, кто го­лосует; альтернативные предметы голосования; правила, по которым j осуществляется голосование (Stewart III, 2001, 15-16). Своими I корнями данная модель уходит в исследование Гарольда Хоутлинга, который анализировал выбор владельцами места для своих ма- | газинов недалеко друг от друга и сравнивал этот выбор с выбо­ром политической позиции республиканцами и демократами в США ближе к центру политического спектра предпочтений населе­ния (Hotelling, 1929).

Изучение результатов избирательных кампаний, а также голосо­ваний в парламентах и комитетах, показывает, что, как правило, предпочтения избирателей или принимающих решения группируются вокруг центра. Однополюсные распределения голосов поставили во­прос об условиях группировки. Теория рационального выбора пред­ложила свой ответ, увязав его с позицией некоего “медианного изби­рателя”. Как подчеркивает Чарльз Стюарт, “результат голосования по принципу “медианного избирателя” является настолько важным в политической науке, что, если исход [голосования] не выражает ме­дианных предпочтений (при условии, что проблема едва ли может быть описана одним измерением), то налицо серьезное затруднение для объяснения. Даже когда результаты действительно не соответст­вуют четко медианным предпочтениям - а они редко, но случают­ся - мы можем использовать логику пространственной модели голо­сования для анализа причины отклонения политики от медианных предпочтений. Следовательно, медианный результат голосования часто является стартовым пунктом для многих видов политического анализа” (Stewart III, 2001, 14). Модель предполагает, что индиви­ды голосуют стратегически, т.е. выбирают максимально выгодную позицию при данных условиях. В. ней предпочтения индивидов рас­полагаются на некоем континууме, включающем крайние точки пред­почтений, как правило, для политики - это “крайне левые” и “крайне правые”. Каждый избиратель представлен некой функцией предпочтения, достигающей максимума в определенной “идеальной точке”, к которой он и будет стремиться. Эта точка фиксирует то предпочтение, которое индивид рассматривает в качестве наилучшего для себя. Модель предусматривает, что на повестке стоит один во­прос, который и будет выступать точкой, отстоящей от некоторой по­зиции статус-кво. “Медианным избирателем” соответственно будет тот, кто займет место между точками, разделив всех голосующих на две равные группы. Суть принципа “медианного избирателя” состоит в следующем: “При одинаковых условиях, в которых производится медианный результат голосования, если комитету или электорату предоставляется выбор между двумя альтернативами, и действующие чица имеют симметричные кривые полезности, то тот, кто ближе к медианному голосующему, будет иметь приоритет” (ibid, 22).

Предположим, что решается вопрос, обозначенный точкой А", ко­торая ^отстоит на некотором расстоянии от статус-кво, обозначенном точкой А. Следовательно, “медианный избиратель” займет позицию М. Представим это распределение на схеме 1.

Схема 1

“Медианный избиратель”

От статус-кво может отличаться любая предложенная альтернати­ва. Победитель устанавливает новый статус-кво и так до тех пор, пока все предложения не иссякнут. В целом, при наличии одного во­проса “идеальным пунктом” решения всегда будет позиция “медиан­ного избирателя”. Именно она определяет стабильность альтернати­вы. Альтернатива, близкая к позиции “медианного избирателя” по­беждает.

Данная модель предполагает, что при наличии индивида (или ко­митета, организации), который обладает монопольным правом на оп­ределение вопросов в повестке дня голосования (“установщик”, или“setter”), возможна ситуация, когда позиция “медианного избирате­ля” будет побеждена. Пусть “установщик” предпочитает политикуотображенную точкой Б. Тогда весь массив голосов в пространствеЛ-А" будет направлен против позиции Б. Для того чтобы побе­дить “установщик” выберет ближайшую к своей позиции точку изпространства А-А", которой в данном случае будет точка А*. Вданном случае “установщик”, обладающий монопольным правомна повестку дня, не включит позицию “медианного избирателя” вчисло обсуждаемых вопросов. Включение в модель “установщика”выразилось так же в парадоксе: чем хуже статус-кво для “медиан­ного избирателя”, тем больше результат решения, навязанного “ус­тановщиком”, будет отличаться от его крайней позиции (Weingast1996, р. 171). °

В сравнительных политических исследованиях данный принциписпользуется довольно часто. Так, при анализе формирования и дея­тельности правительств в различных странах, где правительство за­висит от парламента и формируется на основе его политической кон­фигурации используется принцип “медианного законодателя”. Пар­ тийные коалиции обязательно включают партии, которые четко вы­ ражают медианные позиции на шкале “левые- правые”. В этом от­ношении страны различаются по степени выраженности подобныхкоалиций в политической практике.

3.5. Формирование коалиций

Теория коалиций и коалиционного объединения политических сил является одной из наиболее разработанных областей политической науки, связанных с теорией рационального выбора. Наиболее часто ее используют исследователи-компаративисты, подтверждая или опровергая формальные модели создания коалиций. Естественно, что эти модели успешно могут применяться к тем политическим системам, где парламент фор­ мируется из представителей многих партий, каждая из которых в одиночку не способна сформировать правительство и проводить по­ литические решения через процесс голосования. Модели формирова­ния коалиций отличаются от моделей голосования, построенных на теории простых игр. Здесь речь идет об объединении голосов, а сле­довательно, о кооперативных играх. Применение теории игр к про­блемам, включающим сделки и формирование коалиций, порождают два рода моделей: статические и динамические. Первые склонны быть экономными и не включать дополнительные переменные, свя­занные с институциональными или субъективными факторами. Вто­рые являются по большей части описательными и поведенческими (Shubik, 1984, р. 390). В целом имеющиеся модели формирования коалиций можно разбить на две группы так же на основании того, используется в них или не используется такая переменная, как раз­мещение политических сил, образующих коалицию, по шкале “ира-ные левые”. Первая группа моделей основывается на количествен­ных признаках коалиции (Riker, 19G2, р. 32 46), вторая включает к рассмотрение близость политических позиций участников коалиции (/\xelrod, 1970; Cross, 1969).

Рассмотрим некоторые модели и их применение в сравнительных исследованиях. В качестве конкретного примера применения различ­ных моделей формирования коалиций возьмем распределение мест между партиями в парламенте Исландии на основе результатов выбо­ров в апреле 1983 г. (см. табл. 2). Этот пример удобен по ряду со­ображений: небольшой парламент (60 депутатов), достаточное коли­чество партий (шесть), удобное для подсчета распределение мест, нз-нестные результаты формирования коалиции (которые позволят на основе анализа одного случая сказать о применимости той или иной модели формирования коалиций). Партии в данной таблице распре­делены в соответствии с их политическими предпочтениями по шкале левые -правые”, учитывая то обстоятельство, что роль партии центра стремится выполнять Прогрессивная партия. Каждая партия обозначена буквой, соответственно также буквами обозначаются воз­можные коалиции при применении к данному распределению мест в парламенте различных моделей. В конце данного раздела мы скажем " реально сформированной коалиции партий в парламенте Исландии.

Таблица 2

Гипотетические коалиции партий в парламенте Исландии (выборы 1983 г.) *

А=Союз социал-демократов

Б=Социал-демократическая партия В=Женский союз

Г= Народный союз

Д=Прогрессивная партия Е=Независимая партия

* Данные о количестве мест, полученных партиями, взяты из: Leonard, Natkiel, 1986. P. 66.

Модель “минимальной побеждающей коалиции” Райкера. В осно­ве этой модели лежит разработанный Уильямом Райкером “принцип величины” коалиции. “Кооперативные решения с персонами, - пишет Райкер, - касаются разделения выигрыша от формирования коалиции среди ее членов, тогда как принцип величины касается числа членов или весов членов победившей коалиции. В политичес­ких ситуациях, аналогичных играм с n-персонами и с постоянной суммой, участники с ясной и полной информацией - так утверждает принцип - формируют минимальные побеждающие коалиции, т.е. коалиции настолько большие, чтобы они были достаточными для по­беды и не более того” (Riker, 1992, р. 218). Райкер меняет предпо­сылку формирования коалиций, предложенную Даунсом (Downs, 1957): политические партии пытаются максимизировать большинст­во. Вместо этого он утверждает, что партии при формировании коа­лиций не стремятся платить за голоса больше, чем это нужно для по­беды. Таким образом, стремление максимизировать свою власть огра­ничивается вполне прагматическим обстоятельством: можно победить с меньшими издержками при коалиционном дележе добычи, которой в данном случае может выступать распределение мест в правительст­во

не или занятие ключевых постов в парламенте и его комиссиях и ко­митетах. Ясно и то, что чем больше по размеру коалиция, тем мень­шая доля власти приходится на каждого его участника, будь то ин­дивид или партия. Предпосылка “ясной и полной информации” так же появляется не случайно. Райкер утверждает, что чем менее ясная и менее полная информация имеется у потенциальных участников ко­алиции, тем больше будут стремиться они к наращиванию размера побеждающей коалиции. Показателем “минимальной побеждающей коалиции” является то, что при выходе из нее какой-либо одной пар­тии она теряет характер побеждающей.

В случае с распределением мест в Исландии данная модель может быть использована для прогноза о возможности формирования пяти минимально выигрышных коалиций при том, что в расчет не берутся их политические позиции. Чтобы минимально выигрышная коалиция могла быть сформирована она должна включать более чем 30 депу­татов, если принять во внимание, что большинство решений прини­мается простым большинством голосов. Считаем так же, что все пар­тии заинтересованы во вступлении в правительственную коалицию. Такими возможными коалициями могли бы стать коалиция партий АВГД - 31 место, АБЕ - 33 места, БВЕ - 32 места, БВГД - 33 места, АБГД - 34 места, ГЕ - 33 места, ДЕ - 37 мест. Все коали­ции имеют возможность принимать решения и не нуждаются в до­полнительных участниках.

Ясно, что использование модели “минимально побеждающей коа­лиции” позволяет сделать прогноз относительно будущего распреде­ления сил в парламенте, однако не дает четкого ответа на вопрос, какая же из^ “минимально побеждающих коалиций” является наибо­лее реальной. Все возможные коалиции, если брать основные пред­посылки модели, имеют равные шансы.

Модель “минимальной величины коалиции”. Данная модель пыта­ется ответить на поставленный выше вопрос о реальности коалиций, но так же без учета политических различий (Lijphart, 1984, р. 49)! Здесь используется дополнительный критерий для оценки рацио­нальности сформированных коалиций, который включает отношение участников коалиций к разделению власти между собой. В этом слу­чае каждый будет стремиться сформировать коалицию с минималь­ным числом участников, для того чтобы максимизировать власть внутри коалиции. Партия Д, которая является участницей четырех возможных коалиций, конечно, выберет ту, в которой ее 14 мест будут более значимы. Если определить эту значимость через долю ее мест в парламентской поддержке правительства или решения, то дан­ная партия выберет коалицию АВГД с 45% ее влияния, а не БВГД, где этот процент составит 42. Партия Г тоже выберет коалицию АВГД с 32 % значимости, а не ближайшие по количеству участников БВГД и ГЕ с 30%. Таким же образом поступят партии А и В. Таким образом, из всех коалиций в соответствии с моделью “минимальной

величины коалиции” возможен лишь один вариант - АВГД, где количество участников коалиции равно 31.

“Теорема сделки”. В политической науке механизм торговой сделки между политическими участниками используется при анализе партийной политики и международных переговоров (см.: Shubik, 1982, р. 391 - 392). Лейпхарт приводит ее в качестве одной из основ­ных моделей коалиционной политики (Lijphart, 1984, р. 49 - 50). Одной из первых работ, в которой использовался принцип сделки, была работа Майкла Лейзерсона, посвященная коалициям в япон­ском парламенте (см.: Groennings, Kelley, Leiserson, 1970). В данной модели главным является не число участников коалиции (хотя оно должно быть “побеждающим”), а число партий, которые заключают альянс. Это связано с необходимостью сокращения издержек на фор­мирование и поддержку коалиций, так как при большом числе пар­тий труднее договориться о сделке, труднее получить полную инфор­мацию, сложнее вести переговоры. Коалиция с минимальным числом партий более маневренна и более устойчива. Эти простые соображе­ния позволяют говорить, что из всего набора “минимально выигрыш­ных коалиций”, по-видимому, будут избраны наиболее “дешевые” коалиции. Такими в нашем случае являются коалиции ГЕ и ДЕ.

Две последующие модели используют не только критерий разме­ра коалиций, но и размещения их участников на политической шкале “правые- левые”. Ясно, что характер коалиции определяется зачас­тую скорее политическими пристрастиями и близостью программ партий, которые в свою очередь облегчают формирование коалиций, т.е. делают их и более “дешевыми” и более устойчивыми, что соот­ветствует критерию рациональности.

Модель “минимального пространства”. Данная модель названа так потому, что критерием, определяющим возможность формирова­ния коалиций, выступает близость партий по шкале “правые-левые”. В качестве эмпирического показателя берется пространство, разделяющее партии на соответствующей шкале. Те партии будут стремиться к коалиции, число разделяющих пространств которых яв­ляется минимальным. Если мы обратимся к табл. 2, то общее число пространств здесь - 5. Коалиция АВГД характеризуется четырьмя разделяющими пространствами, АБЕ - пятью, БВЕ - четырьмя, БВГД - тремя, АБГД - четырьмя, ГЕ - двумя и ДЕ - одним. Ясно, что из всех возможных коалиций в соответствии с критерием “минимального пространства” подходит коалиция ДЕ с одним разде­ляющим пространством. Простота решения, тем не менее, может вы­звать вопросы. Один из них касается одномерного распределения партий, тогда как в действительности измерений значительно боль­ше. Применение этой модели также затрудняется, если не удается до­статочно точно распределить партии на соответствующей шкале. Более менее ясным является распределение партий на общие группы “левых” и “правых”, сложности начинаются при измерении степени

этого качества и взаимосвязи партий с центром политического спект­ра. Однако эти сложности не умаляют эвристической значимости представленной модели.

Модель “минимальной связанной коалиции”. Она также дополня­ет количественные критерии качественными. Разработана эта модель Робертом Аксельродом (Axelrod, 1970, 1984), использовалась с не­большой модификацией Абрамом Де Сваном (“теория политической дистанции”) (De Swaan, 1973). И здесь используется однолинейная шкала, размещающая потенциальных участников коалиции “слева направо”. Но в отличие от модели “минимального пространства” принимается допущение, что партии будут стремиться создать коали­цию с ближайшими соседями по шкале, не “перепрыгивая” через разделяющие пространства. Если какая-либо партия попадает между возможными партнерами по коалиции, то есть большая вероятность, что она будет принята в нее, даже если “принцип величины” коали­ции Райкера не будет соблюден. Это не означает принятия лишних партий. Коалиция будет стремиться к минимуму членов, необходи­мых для победы, но при этом учитывать непосредственную связь партий между собой. В приведенном примере такими “минимально связанными коалициями” окажутся БВГД и ДЕ.

Если обратиться к анализу таблицы 2, то сразу же станет замет­ным различие прогнозов, составленных с применением моделей фор­мирования коалиций. Ограничение числа вариантов во всех прогно­зах, за исключением модели “минимально побеждающей коалиции” все же дает возможность предположить, что вариант коалиции ДЕ является наиболее подтвержденным теоретическими критериями. И действительно, в 1983 г. созданная в Исландии правительственная коалиция состояла из Прогрессивной партии и Независимой партии, относящихся к право-центристскому политическому спектру. В нашем примере это были партии Д и Е. В политической науке воз­никал уже вопрос о степени достоверности моделей формирования коалиций, т.е. степени их реалистичности. Проведенные сравнитель­ные исследования коалиций в различных странах показали большую предсказательную силу (1) у моделей “минимальной связанной коа­лиции”, “минимального пространства” и “минимальной побеждаю­щей коалиции” (в порядке возрастания значимости) (см.: De Swaan, 1973, p. 147 - 158); (2) у моделей “минимальной связанной коали­ции”, “минимальной побеждающей коалиции” и “минимального про­странства” (см.: Taylor, Laver, 1973, p. 222 - 227). Все эти модели, однако, так или иначе отталкиваются от модели “минимальной по­беждающей коалиции” Райкера. “Принцип величины” оказался ра­ботающим, хотя и не без критического к нему отношения. Сам Уи­льям Райкер в этой связи говорил: “Меня всегда удивляло, что так много людей полагали, будто принцип мог фактически всегда точно предсказать величину коалиции. Принцип проистекал из очень ред­кой модели, которая требует постоянной суммы условий, которая

умышленно исключает идеологию и традицию, которая ограничивает длительные соглашения и которая особым образом допускает ясную и полную информацию, редко обнаруживаемую в реальном мире. Таким образом, кто-то полагал, что естественные коалиции только приблизительно соответствуют этой модели. Вместо этого, полезность модели состоит в том, что она показывает значимые границы форми­рования коалиций, а не в том, что она предсказывает величину каж­дой естественной коалиции. Действительно, замечательный факт для меня состоит в том, что этот простой принцип часто оказывается до­статочным, чтобы объяснить коалиции, вместо включения в рассмот­рение многих других соображений” (Riker, 1992, р. 219). Приведем данные Лейпхарта об общей длительности существования прави­тельств (в %) за период 1945-1980 гг., сформированных на различ­ной коалиционной основе: правительственные кабинеты минимальной побеждающей коалиции, сверхразмерные кабинеты и кабинеты, ос­нованные на партийном меньшинстве (табл. 3).

Стремление экономистов определить оптимум благосостояния без определения индивидуальных выгод имеет давнюю историю. Теоретики не могли четко разграничить понятия «эффективность» и «справедливость». Это сделал итальянский ученый В. Парето, определив понятие общественного благосостояния. Его концепция оптимального размещения ресурсов основывается на трех допущениях, которые относятся к оценке суждений:
1) каждая личность лучше всего оценивает свое благосостояние;
2) общественное благосостояние определяется благосостоянием отдельных, независимых друг от друга индивидов;
3) благосостояние отдельных личностей нельзя уравнять.
Однако ученый считал, что выводы об экономической политике можно делать только на основе размышлений об эффективности.
В начале 30-х годов ХХ в. американский экономист Абрам Бергсон вывел дискуссию из тупика, предложив оценивать благосостояние с помощью функции общественного благосостояния - множества общественных кривых безразличия, которые ранжируют разные комбинации индивидуальных выгод соответственно системе оценочных суждений о распределении дохода. Однако он не пояснил, кому должны принадлежать такие суждения и как следует учитывать разницу в них. Поэтому концепция общественного благосостояния А. Бергсона несколько оторвана от действительности.
Попытка определить функцию социального благосостояния, учитывая ограничения, отражающие основные этические аксиомы (ценностные установки участников демократического процесса), привела Эрроу к формулировке теоремы невозможности (невозможности демократии).
Автор доказывает, что общество не может найти процедуры принятия непротиворечивых, согласованных решений, если эти решения не отданы на суд одной личности. Это положение иллюстрируется парадоксом голосования - противоречием, которое возникает вследствие того, что голосование на основе принципа большинства не обеспечивает выявление преимуществ общества относительно экономических благ.
К.-Дж. Эрроу сформулировал аксиоматические правила рационального поведения и явно показал, что ни один процесс принятия коллективного решения не отвечает определенным нормам. Согласно теории невозможности Эрроу, не существует демократической социальной функции благосостояния, которая осуществляет связь между индивидуальными преимуществами и общественным выбором - процессом, с помощью которого индивидуальное видение трансформируется в коллективное решение и одновременно отвечает таким требованиям:
1) принцип Парето-оптимальности. Решение не может быть принято, если при этом существует и может быть реализована альтернатива, улучшающая жизнь другим индивидам и никому не ухудшает;
2) переходность. Если социальный выбор А имеет преимущество перед альтернативой Б, а выбор Б - перед альтернативой В, то А лучше, чем В;
3) независимость посторонних альтернатив. Человек выстраивает преимущества независимо от действий, которые на данный момент он не может осуществить;
4) отсутствие диктатора. Среди участников коллективного выбора нет такого индивида, каждое преимущество которого всегда превышает преимущества всех других членов и становится обязательным элементом социального порядка.
К.-Дж. Эрроу доказал, что четыре условия находятся в противоречии. Итак, ни одна социальная схема благосостояния не может отвечать всем требованиям одновременно.
Отмеченные требования являются важной предпосылкой рациональности индивидуального выбора. Но универсального правила рационального коллективного выбора, которое бы отвечало всем требованиям, нет. Анализ правила большинства доказал, что возможна ситуация зацикливания (то есть при определенной структуре индивидуальных преимуществ голосование может продолжаться бесконечно, не приводя к принятию однозначного решения) при последовательном осуществлении выбора тремя лицами, потому что при увеличении числа критериев упорядочивания растет вероятность того, что результаты окажутся зацикленными.
Но аксиома транзитивности предусматривает выбор только одного из трех вариантов. Чтобы процесс общественного выбора не зашел в тупик, нужно найти приемлемую альтернативу. Однако при отмеченных условиях для произвольной пары альтернатив невозможно подобрать такую коалицию, которая складывалась бы более чем из одного индивида. Это означает, что метод осуществления такого выбора будет диктаторским.
Единое правило построения коллективных решений, отвечающее четырем условиям К.-Дж. Эрроу, является диктаторским (коллективное решение всегда должно совпадать с мнением одного из избирателей). Чтобы избежать этого, необходимо смягчение предпосылок. Несмотря на то, что данные постулаты более четкие, чем может показаться на первый взгляд, они все же слабее, чем это необходимо для удовлетворения разумного критерия распределительной справедливости. Поэтому необходимо смягчение аксиом одинаковости или отказ от одной из них. Но такой отказ означает утрату идеалов индивидуализма и гражданского суверенитета.
Поскольку общественный выбор - это совокупность альтернатив, то К.-Дж. Эрроу вводит аксиому транзитивности. Но на практике достижение цели не требует полного внедрения аксиомы транзитивности. Поэтому А.-К. Сен доказал теорему возможности, заменив транзитивность квазитранзитивностью, или транзитивностью четких преимуществ
(он утверждал, что личная свобода должна иметь приоритет над правилом Парето). Квазитразитивность открывает возможность для навязывания обществу власти олигархии (если существуют одинаковые для всех членов олигархической группы преимущества). Преодоление зацикливания заключается в том, что каждый член олигархической группы фактически владеет правом вето. Это означает также, что переход от транзитивности к квазитранзитивности не устраняет диктаторскую власть вообще, а распространяет ее на олигархическую группу.
Требование неограниченного охвата (полноты и универсальности) подобна постулату свободы выбора: каждый индивид волен выбирать, что захочет, то есть сам определяет собственный порядок преимуществ. И хотя многие выступают за свободу выбора, однако следствием такого выбора может быть или конфликт, или зацикливание. Поэтому этот постулат также способствует демократичности принятия решений.
Несколько «ослабил» теорему невозможности В.-С. Викри. Он добавил к условиям К.-Дж. Эрроу пятое условие - ранжирование (берется не весь континуум от первой до наивысшей точки, а определенный промежуток между ними). С помощью ранжирования он получил возможность путем ограничения индивидуального выбора доказать теорему невозможности.
Существует два способа ее доказательства: ограничение всего множества возможных вариантов (например, конституция защищает права собственности) или ограничение состава сотоварищества теми членами общества, чьи преимущества дают возможность осуществить коллективный выбор (например, делегирование полномочий избирателей членам парламента). Это означает, что при представительской демократии к принятию политических решений допускаются лица с более-менее однородными преимуществами. Это резко снижает вероятность зацикливания (чем однороднее преимущества избирателей, тем менее вероятна возможность возникновения цикла).
Теория клубов. Эта теория является частью теории смешанных благ. Клубное благо - это благо, при потреблении которого имеет место исключение, то есть возможность препятствовать его потреблению некоторой группе людей в отличие от общественного блага. Но оно является неконкурентным, т.к. потребление блага одним лицом не снижает потребления того же блага другими лицами и особенности формирования политических партий называют условия, при которых возможно создание однородного сообщества. Принятие прогнозируемых коллективных решений является более вероятным в сообществах, где исповедуют общие ценности, чем в произвольных группах индивидов.
Если отказаться от постулата о независимости альтернатив, то можно получить большое число процедур принятия решений:
а) простое большинство, при котором для принятия решения необходимо 50 процентов голосов участников плюс один голос;
б) относительным большинством голосов считается количество голосов, больше хотя бы на один голос;
в) квалифицированное большинство должно составлять две трети, три четверти или еще больше от всего состава тех, кто принимает решение;
г) постановляющее голосование.
Если число вариантов равно двум (избрание-неизбрание, принятие-непринятие) и число избирателей непарное, то единым правилом, отвечающим всем пяти условиям, является правило простого большинства.
Итак, теорема невозможности доказывает, что нет такого демократического процесса принятия решений, который бы одновременно отвечал всем пяти сформулированным аксиомам. Поэтому выработать только одно правило голосования невозможно. Решение этой проблемы возможно в случае отказа от аксиомы транзитивности или смягчения постулатов независимости, полноты и универсальности.
На основе сформулированных этических норм, а также аксиом, определяющих коллективный выбор, К.-Дж. Эрроу предложил концепцию демократического выбора, направленную на защиту свободной рыночной конкуренции, которая должна поддерживаться государством. Государство, формируя экономическую стратегию, должна учесть интересы всех граждан.
Работы К.-Дж. Эрроу оказались весомым вкладом в теорию оптимальных запасов, анализ стабильности рыночных моделей, математическое программирование и теорию статистических решений. Распространено мнение, что смысл и значение теоремы невозможности Эрроу, а также теории социального выбора до сих пор не осознаны всецело и теория «опережает» их внедрение. Но все-таки предпринимаются попытки использования теории социального выбора в двух сферах. Одна из них - разработка избирательных систем. Компьютеры способны преодолеть существующие барьеры создания оптимальной избирательной системы. Другая сфера - теория демократии, где теория социального выбора способствует переоценке классических утверждений. Используют теорию социального выбора в политической сфере, при анализе рынка труда и торговой политики.
Роль взглядов К.-Дж. Эрроу в современной теории благосостояния существенна:
1. Ученый стремился ликвидировать одно из наиболее очевидных противоречий маржинализма - между постулатом об индивидуальном поведении и математическом моделировании, которое является частью метода. С одной стороны, все западные экономисты - от Маршалла до Самуэльсона - осуществляют математические операции по индивидуальным функциям полезности. С другой - они опираются на аксиому, что человек субъективен в оценке своего благосостояния и выбирает комбинацию определяющих его факторов, которая, по его мнению, обеспечивает максимум полезности. Особенности объекта анализа (индивидуального экономического поведения) делают бессмысленным или одно, или другое.
По мнению К.-Дж. Эрроу, для обновления внутренней логики теории благосостояния необходимо или создать математические модели индивидуального поведения без посылок на субъективные оценки, или вообще отказаться от математических преобразований.
2. К.-Дж. Эрроу пересмотрел позицию экономистов австрийской школы о принципах рационального поведения. Их критерий, который сводится к оптимизации индивидуального благосостояния, отвечал только индивидуальной функции полезности, но оказался недостаточным для индивидуальной функции преимуществ социальных состояний.
Своей теоремой невозможности К.-Дж. Эрроу доказал, что нет общего правила классификации ситуаций на уровне общества, которое не было бы объединено с определенной обоснованной системой индивидуалистских этических ограничений общественной функции благосостояния. Ученый акцентировал, что ограничения порождают противоречия. Он обосновал невозможность формулирования правила, которое было бы приемлемым для всех случаев, и при этом допускалась бы возможность существования какого-либо нормативного положения для подгруппы эмпирически подобранных случаев.

Теорема Эрроу (также известна как «Парадокс Эрроу », англ. Arrow’s paradox ) - теорема о невозможности «коллективного выбора ». Сформулирована американским экономистом Кеннетом Эрроу в 1951 году . Смысл этой теоремы состоит в том, что в рамках ординалистского подхода не существует метода объединения индивидуальных предпочтений для трёх и более альтернатив, который удовлетворял бы некоторым вполне справедливым условиям и всегда давал бы логически непротиворечивый результат. Ординалистский подход основывается на том, что предпочтения индивидуума относительно предлагаемых к выбору альтернатив не могут измеряться количественно, а только качественно, то есть одна альтернатива хуже или лучше другой.

В рамках кардиналистского подхода, предполагающего количественную измеримость предпочтений, теорема Эрроу в общем случае не работает.

Формулировки

Формулировка 1951 года

Пусть есть N ≥2 избирателей, голосующих за n ≥3 кандидатов (в терминах теории принятия решений кандидатов принято называть альтернативами ). У каждого избирателя есть упорядоченный список альтернатив. Система выборов - функция, превращающая набор из N таких списков (профиль голосования ) в общий упорядоченный список.

Система выборов может обладать такими свойствами:

Универсальность Для любого профиля голосования существует результат - упорядоченный список из n альтернатив. Полнота Система голосования может давать в качестве результата все n ! перестановок альтернатив. Монотонность Если во всех N списках некоторая альтернатива x останется на месте или поднимется выше, а порядок остальных не изменится, в общем списке x должен остаться на месте или подняться. Отсутствие диктатора Нет избирателя, предпочтение которого определяло бы результат выборов независимо от предпочтений других избирателей. Независимость от посторонних альтернатив Если профиль голосования изменится так, что альтернативы x и y во всех N списках останутся в том же порядке, то не изменится их порядок и в окончательном результате.

Формулировка 1963 года

В формулировке 1963 года условия Эрроу таковы.

Универсальность Отсутствие диктатора Независимость от посторонних альтернатив Эффективность по Парето , или принцип единогласия если у каждого избирателя альтернатива x в списке стоит выше y , это же должно быть и в окончательном результате.

Доказательство теоремы Эрроу

Введем следующие обозначения:

• $O$ - множество исходов, которые каждый агент ранжирует в соответствии со своими предпочтениями.
• $L\_i$ - линейный порядок предпочтений $i$-го агента на множестве $O$ заданный отношением $\backslash succ\_i$.
• $[\backslash succ"]$ - профиль предпочтений (кортеж, элементами которого являются предпочтения всех агентов).
• $W:\; L^N\; \backslash to\; L\_W$ - функция общественного благосостояния.
• $\backslash succ\_W$ - коллективные предпочтения.

Дадим формальные определения:

• Парето-эффективность : $W$ парето-эффективна, если для любых исходов $o\_1,\; o\_2\; \backslash in\; O,\; \backslash forall\; i\; (o\_1\; \backslash succ\_i\; o\_2)\; \backslash Rightarrow\; (o\_1\; \backslash succ\_W\; o\_2)$.
• Независимость от посторонних альтернатив : $W$ независима от посторонних альтернатив, если для любых исходов $o\_1,\; o\_2\; \backslash in\; O$ и для любых двух профилей предпочтений $[\backslash succ"]$ и $[\backslash succ$] \in L_n, \forall i (o_1 \succ"_i o_2 \Leftrightarrow o_1 \succ _i o_2) \Rightarrow (o_1 \succ_{W([\succ"])} o_2 \Leftrightarrow 0_1 \succ_{W([\succ ])} o_2).
• Отсутствие диктатора : считаем, что для $W$ отсутствует диктатор, если не существует такого $i$, что $\backslash forall\; o\_1,\; o\_2\; \backslash in\; O\; (o\_1\; \backslash succ\_i\; o\_2\; \backslash Rightarrow\; o\_1\; \backslash succ\_W\; o\_2)$.
• Теорема Эрроу : если $|O|\; \backslash geq\; 3$, то любая Парето-эффективная, независящая от посторонних альтернатив функция общественного благосостояния $W$ имеет диктатора.

Доказательство проведем в 4 этапа.

Этап 1. Если каждый агент помещает исход $b$ в самый верх или самый низ своего списка предпочтений (при этом не требуется, чтобы все агенты действовали одинаково), то и в $\backslash succ\_W$ исход $b$ тоже будет либо вверху, либо внизу списка.

Возьмем произвольный профиль $[\backslash succ]$ такой, что в нём для всех агентов $i$ исход $b$ расположен либо вверху, либо внизу списка предпочтений $\backslash succ\_i$. Теперь допустим, что наше утверждение неверно, то есть существуют такие $a,\; c\; \backslash in\; O$, что $a\; \backslash succ\_W\; b$ и $b\; \backslash succ\_W\; c$. Изменим тогда профиль $[\backslash succ]$ так, чтобы для всех агентов выполнялось $c\; \backslash succ\_i\; a$, не изменяя при этом ранжирования остальных исходов. Обозначим полученный профиль $[\backslash succ"]$. Так как после такой модификации исход b для каждого агента все равно останется либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции в списке его предпочтений, то из независимости W от посторонних альтернатив можно заключить, что и в новом профиле $a\; \backslash succ\_W\; b$ и $b\; \backslash succ\_W\; c$. Следовательно, в силу транзитивности $\backslash succ\_W$ получаем $a\; \backslash succ\_W\; c$. Но мы предположили, что для всех агентов $c\; \backslash succ\_i\; a$, тогда в силу Парето-эффективности должно быть $c\; \backslash succ\_W\; a$. Полученное противоречие доказывает утверждение.

Этап 2. Для всякого исхода $b$ существует агент, который является центральным в том смысле, что, изменив свой голос, он может переместить исход $b$ из самой нижней позиции в списке $\backslash succ\_W$ в самую верхнюю позицию в этом списке. Иными словами, найдутся два профиля $[\backslash succ^1]$ и $[\backslash succ^2]$, отличающихся только предпочтениями агента $i$, что $b$ находится в конце списка для $[\backslash succ^1\_W]$ и в начале списка для $[\backslash succ^2\_W]$.

Рассмотрим любой профиль предпочтений, в котором все агенты расположили исход $b$ в самом низу своего списка предпочтений $\backslash succ\_i$. Ясно, что и в $\backslash succ\_W$ исход $b$ находится на самой нижней позиции (в силу Парето-эффективности). Пусть все агенты начали по очереди переставлять исход $b$ с самой нижней на самую верхнюю позицию в своих списках предпочтений, не меняя при этом ранжирования остальных исходов. Когда все агенты поставят исход $b$ первым в своём списке предпочтений, он будет первым и для $\backslash succ\_W$. Таким образом, в какой-то момент $\backslash succ\_W$ изменится. Пусть $n^*$ - агент, который, переставив таким образом $b$, изменил $\backslash succ\_W$ (в первый раз). Обозначим $[\backslash succ^1]$ - профиль предпочтений как раз до того, как $n^*$ переместил $b$, а $[\backslash succ^2]$ - профиль предпочтений сразу же после того, как $n^*$ переместил $b$. Таким образом, в $[\backslash succ^2]$ исход $b$ изменил свою позицию в $\backslash succ\_W$, при этом для всех агентов $b$ находится либо на самой верхней, либо на самой нижней позиции $\backslash succ\_i$. Следовательно, в силу утверждения, доказанного на Этапе 1, в $\backslash succ\_W$ исход $b$ занимает самую верхнюю позицию.

Этап 3. $n^*$ - диктатор над всеми парами , не включающими в себя $b$.

Выберем из пары любой элемент. Без потери общности, выберем a. Далее из профиля $[\backslash succ^2]$ построим $[\backslash succ^3]$ следующим образом: в $\backslash succ\_\{n^*\}$, переместим исход a на первую позицию, оставив остальное ранжирование неизменным; произвольным образом для всех остальных агентов поменяем местами друг с другом $a$ и $c$. Тогда, как и в $[\backslash succ^1]$ получим, что $a\; \backslash succ\_W\; b$ (в силу независимости от посторонних альтернатив) и, как и в $[\backslash succ^2]$ получим, что $b\; \backslash succ\_W\; c$. Тогда $a\; \backslash succ\_W\; c$. Теперь построим профиль предпочтений $[\backslash succ^4]$ следующим образом: для всех агентов поместим исход $b$ на произвольную позицию в списке предпочтений $\backslash succ\_i$, для агента $n^*$ поместим исход $a$ в произвольную позицию до исхода $с$. Ясно, что в силу независимости от посторонних альтернатив $a\; \backslash succ\_W\; c$. Мы получили, что все агенты, кроме $n^*$ имеют совершенно произвольные профили предпочтений, а результат $a\; \backslash succ\_W\; c$ получился исходя только лишь из предположения, что $a\; \backslash succ\_\{n^*\}\; c$.

Этап 4. $n^*$ - диктатор над всеми парами .

Рассмотрим какой-нибудь исход с. В силу Этапа 2 существует некоторый центральный агент $n^\{**\}$ для этого исхода, он же является диктатором для всех пар , где, в частности, $A\; =\; a,\; B\; =\; b$. Если бы агент $n^\{**\}\; \backslash neq\; n^*$ был дикатором над , никакая замена предпочтений агента $n^*$ не могла бы поменять ранжирование $a$ и $b$ в $\backslash succ\_W$. Но на Этапе 2 агент $n^*$ переставил $b$ с последнего места на первое в $\backslash succ\_W$, и таким образом был обязан поменять местами $a$ и $b$. Следовательно, можно заключить, что $n^\{**\}$ совпадает с $n^*$, то есть $n^*$ и есть диктатор.

Доказательство завершено.

См. также

• Парадокс Кондорсе - парадокс выборов, обобщением которого явилась теорема Эрроу.

Напишите отзыв о статье "Теорема Эрроу"

Ссылки

Примечания

Отрывок, характеризующий Теорема Эрроу

В начале зимы, князь Николай Андреич Болконский с дочерью приехали в Москву. По своему прошедшему, по своему уму и оригинальности, в особенности по ослаблению на ту пору восторга к царствованию императора Александра, и по тому анти французскому и патриотическому направлению, которое царствовало в то время в Москве, князь Николай Андреич сделался тотчас же предметом особенной почтительности москвичей и центром московской оппозиции правительству.
Князь очень постарел в этот год. В нем появились резкие признаки старости: неожиданные засыпанья, забывчивость ближайших по времени событий и памятливость к давнишним, и детское тщеславие, с которым он принимал роль главы московской оппозиции. Несмотря на то, когда старик, особенно по вечерам, выходил к чаю в своей шубке и пудренном парике, и начинал, затронутый кем нибудь, свои отрывистые рассказы о прошедшем, или еще более отрывистые и резкие суждения о настоящем, он возбуждал во всех своих гостях одинаковое чувство почтительного уважения. Для посетителей весь этот старинный дом с огромными трюмо, дореволюционной мебелью, этими лакеями в пудре, и сам прошлого века крутой и умный старик с его кроткою дочерью и хорошенькой француженкой, которые благоговели перед ним, – представлял величественно приятное зрелище. Но посетители не думали о том, что кроме этих двух трех часов, во время которых они видели хозяев, было еще 22 часа в сутки, во время которых шла тайная внутренняя жизнь дома.
В последнее время в Москве эта внутренняя жизнь сделалась очень тяжела для княжны Марьи. Она была лишена в Москве тех своих лучших радостей – бесед с божьими людьми и уединения, – которые освежали ее в Лысых Горах, и не имела никаких выгод и радостей столичной жизни. В свет она не ездила; все знали, что отец не пускает ее без себя, а сам он по нездоровью не мог ездить, и ее уже не приглашали на обеды и вечера. Надежду на замужество княжна Марья совсем оставила. Она видела ту холодность и озлобление, с которыми князь Николай Андреич принимал и спроваживал от себя молодых людей, могущих быть женихами, иногда являвшихся в их дом. Друзей у княжны Марьи не было: в этот приезд в Москву она разочаровалась в своих двух самых близких людях. М lle Bourienne, с которой она и прежде не могла быть вполне откровенна, теперь стала ей неприятна и она по некоторым причинам стала отдаляться от нее. Жюли, которая была в Москве и к которой княжна Марья писала пять лет сряду, оказалась совершенно чужою ей, когда княжна Марья вновь сошлась с нею лично. Жюли в это время, по случаю смерти братьев сделавшись одной из самых богатых невест в Москве, находилась во всем разгаре светских удовольствий. Она была окружена молодыми людьми, которые, как она думала, вдруг оценили ее достоинства. Жюли находилась в том периоде стареющейся светской барышни, которая чувствует, что наступил последний шанс замужества, и теперь или никогда должна решиться ее участь. Княжна Марья с грустной улыбкой вспоминала по четвергам, что ей теперь писать не к кому, так как Жюли, Жюли, от присутствия которой ей не было никакой радости, была здесь и виделась с нею каждую неделю. Она, как старый эмигрант, отказавшийся жениться на даме, у которой он проводил несколько лет свои вечера, жалела о том, что Жюли была здесь и ей некому писать. Княжне Марье в Москве не с кем было поговорить, некому поверить своего горя, а горя много прибавилось нового за это время. Срок возвращения князя Андрея и его женитьбы приближался, а его поручение приготовить к тому отца не только не было исполнено, но дело напротив казалось совсем испорчено, и напоминание о графине Ростовой выводило из себя старого князя, и так уже большую часть времени бывшего не в духе. Новое горе, прибавившееся в последнее время для княжны Марьи, были уроки, которые она давала шестилетнему племяннику. В своих отношениях с Николушкой она с ужасом узнавала в себе свойство раздражительности своего отца. Сколько раз она ни говорила себе, что не надо позволять себе горячиться уча племянника, почти всякий раз, как она садилась с указкой за французскую азбуку, ей так хотелось поскорее, полегче перелить из себя свое знание в ребенка, уже боявшегося, что вот вот тетя рассердится, что она при малейшем невнимании со стороны мальчика вздрагивала, торопилась, горячилась, возвышала голос, иногда дергала его за руку и ставила в угол. Поставив его в угол, она сама начинала плакать над своей злой, дурной натурой, и Николушка, подражая ей рыданьями, без позволенья выходил из угла, подходил к ней и отдергивал от лица ее мокрые руки, и утешал ее. Но более, более всего горя доставляла княжне раздражительность ее отца, всегда направленная против дочери и дошедшая в последнее время до жестокости. Ежели бы он заставлял ее все ночи класть поклоны, ежели бы он бил ее, заставлял таскать дрова и воду, – ей бы и в голову не пришло, что ее положение трудно; но этот любящий мучитель, самый жестокий от того, что он любил и за то мучил себя и ее, – умышленно умел не только оскорбить, унизить ее, но и доказать ей, что она всегда и во всем была виновата. В последнее время в нем появилась новая черта, более всего мучившая княжну Марью – это было его большее сближение с m lle Bourienne. Пришедшая ему, в первую минуту по получении известия о намерении своего сына, мысль шутка о том, что ежели Андрей женится, то и он сам женится на Bourienne, – видимо понравилась ему, и он с упорством последнее время (как казалось княжне Марье) только для того, чтобы ее оскорбить, выказывал особенную ласку к m lle Bоurienne и выказывал свое недовольство к дочери выказываньем любви к Bourienne.

Некоторое время назад прочитал книгу Ричарда Румельта . Меня заинтересовал фрагмент, в котором описывается проблема выбора из нескольких альтернатив. Которая, в свою очередь, затрагивает парадокс Кондорсе и теорему Эрроу. Если популярно, то коллективный выбор из более чем двух альтернатив подвержен странностям . Желательно выбирать из двух альтернатив. Любопытно, были ли знакомы с этими закономерностями в Англии и США, когда основывали свою политическую систему на двух партиях!? 🙂

Рис. 1. Предпочтения в выборе альтернатив

Скачать заметку в формате или

Нежелание или неспособность сделать выбор

Выбор означает умение отказываться от одних целей в пользу других. Если этот процесс в организации не выполняется, результат предсказуем - слабая аморфная стратегия. В начале 1992 года Ричард Румельт присутствовал на обсуждении стратегии, в котором принимали участие руководители высшего звена Digital Equipment Corporation (далее DEC); речь шла о будущем направлении развития компании. DEC по праву считалась в 1960–1970-е годы первопроходцем в области микрокомпьютеров и разработок удобных для пользователя операционных систем. Но 90-е годы рынок менялся и руководство DEC терзали вполне обоснованные сомнения: сможет ли компания выжить без кардинальных изменений.

На собрании присутствовал целый ряд влиятельных лиц, высказывавших много идей. Вы услышите голоса лишь трех воображаемых управляющих - назовем их Алек, Беверли и Крейг, - каждый из них высказался в пользу отдельного направления развития. Алек считал, что DEC была и останется ИТ-компанией, специализирующейся на интеграции аппаратного и программного обеспечения в практичные, удобные в применении системы.

Беверли высмеяла идею Алека, окрестив его стратегию «Железо». По ее мнению, «железо» стало обычным предметом потребления и вряд ли способно обеспечить существенное конкурентное преимущество. Единственный реальный ресурс, на базе которого DEC может и должна развиваться, - это взаимоотношения с клиентами. В связи с этим Беверли настаивала на стратегии, которая позволила бы эффективнее решать проблемы клиентов компании. Участники собрания назвали ее стратегию «Решения».

Крейг не поддерживал ни Алека, ни Беверли, поскольку был убежден, что сердце компьютерной индустрии - это полупроводниковые технологии. По его мнению, компании следует сосредоточить свои ресурсы на проектировании и создании новых полупроводников. Естественно, его стратегия получила название «Чипы». Считая, что в вопросах взаимоотношений с клиентами DEC не обладала отличительными компетенциями, Крейг заявил: «У нас довольно сложностей с решением собственных проблем». Алек и Беверли со стратегией Крейга не соглашались, так как полагали, что DEC никогда не сравнится с такими монстрами в области разработки и выпуска микрочипов, как IBM или Intel.

Не лучше было бы прекратить прения и попытаться реализовать все три стратегии? Нет, не лучше. Во-первых, когда люди хотят разрешить конфликт мнений, приняв все предлагаемые варианты, у них напрочь пропадает стимул дорабатывать свои аргументы и выдвигать новые. Только перспектива выбора вдохновляет их тщательно продумывать и четко описывать плюсы своих предложений и минусы идей оппонентов. Во-вторых, стратегии Крейга («Чипы») и Беверли («Решения») предполагали серьезные преобразования в компании; каждая из них требовала создания и развития принципиально новых навыков и методов работы. Обе эти рискованные альтернативы могли быть выбраны, только если бы не прошла стратегия «Железо», сохраняющая удобный статус-кво. И конечно, никто не стал бы одновременно реализовывать стратегии «Чипы» и «Решения», поскольку между ними нет точек соприкосновения. Это нецелесообразно и, по сути, невозможно - организовать и осуществить в компании сразу два фундаментальных преобразования.

В таблице (рис. 1) отображено, как Алек, Беверли и Крейг расставили три альтернативные стратегии развития DEC в порядке своих предпочтений. Данный рейтинг - яркий пример явления, известного под названием парадокс Кондорсе .

Руководители DEC не проводили официально никакого голосования, но в их неспособности сформировать стабильную коалицию большинства явно ощущался эффект парадокса Кондорсе. Когда любые два участника голосования пытались договориться, образуя в итоге большинство, один из них тут же испытывал искушение дезертировать и объединить силы с третьим, чтобы сформировать другое большинство, лучше соответствующее его желаниям и интересам. Предположим, что Беверли и Крейг создали коалицию для поддержки стратегии «Решения». Поскольку она была для Крейга вторым по предпочтению вариантом, он сразу почувствовал бы искушение переметнуться и объединиться с Алеком, создав большинство в поддержку своей стратегии «Чипы». Но и эта коалиция оказалась бы неустойчивой, ибо Алеку наверняка захотелось бы сговориться с Беверли, чтобы упрочить позиции «Железа», и так далее по циклу до бесконечности.

В 1998 году Compaq купила находившуюся в тяжёлом финансовом положении Digital Equipment Corporation. В свою очередь, компания Compaq прекратила самостоятельное существование в 2002 году, когда ее поглотила компания Hewlett-Packard. В 2015 г. компания Hewlett-Packard была разделена на две компании: HP Inc. и Hewlett Packard Enterprise. Идет подготовка к продаже!?

Ни одна избирательная система не идеальна

А вот еще одно объяснение теоремы Эрроу.

Согласно одному из ключевых утверждений в теории общественного выбора, ни одна последовательная и справедливая избирательная система не способна привести к разумному результату. Теорема Эрроу вначале устанавливает разумные условия голосования для того, чтобы собрать различные предпочтения индивидов в единое предпочтение группы.

Такие условия могут привести к абсурдным решениям или явно недемократичному их принятию. Вот как изложили это в своей книге «Анализируя политику» политологи Кен Шепсле и Марк Боншек: «Либо в группе доминирует один выделяющийся индивид, либо в ней складываются нетранзитивные предпочтения». По этой причине теорему иногда называют «диктаторской». Чтобы понять теорему Эрроу, нужно сперва разобраться, какой смысл экономисты и политологи вкладывают в понятие «нетранзитивные предпочтения».

Транзитивные соотношения - это соотношения больше/меньше в математике. Если a > b, и b > c, то a > c. Или старшинство игральных карт: если туз старше короля, а король старше валета, то туз старше валета. Нетранзитивные соотношения - это игра «камень–ножницы–бумага». Камень выигрывает у ножниц, ножницы выигрывают у бумаги, но при этом камень проигрывает бумаге.

Эрроу пытался создать систему голосования, которая была бы последовательной и справедливой, и которая приводила бы к транзитивным групповым предпочтениям при выборе из более чем двух вариантов. Но пытаясь создать такую систему голосования, он доказал, что она невозможна. Условия, которые задал Эрроу для создания логичной и справедливой системы голосования, могут быть описаны следующим образом:

• Каждый избиратель может иметь любой набор логичных предпочтений. Это требование называется «универсальной приемлемостью».
• Если каждый голосующий предпочитает А Б, то тогда вся группа выбирает А, а не Б. Это называется состоянием «единогласия».
• Если каждый голосующий предпочитает А Б, то любое изменение в предпочтениях, которое не влияет на это отношение, не должно влиять на групповое предпочтение. Например, если группа учёных единогласно решает, что Абрахам Линкольн был президентом лучше, чем Честер Артур, то их отношение к Биллу Клинтону никак не должно повлиять на это решение. Такое требование называется «независимостью от посторонних альтернатив».
• Отсутствие диктатора.

Теорема Эрроу утверждает, что, выбирая между более чем двумя вариантами, невозможно соблюсти все эти четыре условия, не создавая при этом цикличных групповых предпочтений. Что ещё ужаснее, транзитивность групповых предпочтений при соблюдении первых трёх условий неизбежно приводит к диктатуре.

Формальное доказательство теоремы потребовало бы углубиться в математику, но проблему можно легко проиллюстрировать мажоритарной избирательной системой. В ней люди голосуют только за наиболее предпочтительного кандидата, и кандидат, набравший наибольшее количество голосов, побеждает. Но проблема в том, что у победителя может быть меньше 50% голосов.

Рассмотрим президентские выборы в США 1992 года. Билл Клинтон выиграл выборы с 43% голосов избирателей. Дж. Буш–старший набрал около 38% голосов, а Росс Перо - около 19%. Теперь предположим, что все избиратели Перо проголосовали бы за Буша, если бы Перо не выдвигал свою кандидатуру. Тогда бы Буш выиграл выборы с 57% голосов. Этот результат нарушает условие независимости от посторонних альтернатив.

Аналогичные проблемы существуют и во всех других системах голосования, поэтому эксперты работают над тем, чтобы выяснить, какие условия можно смягчить, чтобы создать разумный порядок голосования. Большинство учёных считают условия «единогласного» согласия и отсутствия «диктата» священными. Таким образом, основное внимание сосредоточено на условии посторонних альтернатив и, что более важно, на том, как часто отдельные системы сталкиваются с проблемами.

Мажоритарная система, например, не так часто приводит к нетранзитивным предпочтениям, как вы могли бы подумать. Шепсле и Боншек подсчитали, что в выборах из трёх кандидатов с тремя избирателями только 12 договоренностей из 216 возможных привели к нетранзитивным групповым предпочтениям.

Некоторые утверждают, что другие системы голосования (не мажоритарные) являются менее склонными к ошибкам. Двухтуровая система и кембриджская система пропорционального представительства устраняют кандидатов с низким рейтингом (типа Перо), и голоса распределяются среди остальных кандидатов. По такому принципу организована процедура выбора города для проведения Олимпийских игр.

Каждый метод обладает преимуществами, но в каждом гарантированно есть и недостатки, парадоксальные результаты, необходимые для теоремы Эрроу. Практический вопрос для политиков и избирателей состоит в том, какая из этих избирательных систем реже всего приводит к подобным проблемам.

Альтернатива демократии?

…На носу президентские выборы, и у всех американцев на уме политика. Но экономисты, в отличие от большинства людей, равнодушны к голосованию. Ведь шансы на то, что индивидуальный голос повлияет на результат выборов, ничтожно малы. А значит, если вы не любитель выборов, вам нет и особого смысла голосовать. К тому же есть ряд теоретических выкладок. Самая известная из них - теорема Эрроу, которая показывает, сколь сложно изобрести политические системы (и механизмы голосования), которые надежным образом объединяли бы предпочтения избирателей.

Эти теоретические выкладки о плюсах и минусах демократии большей частью навевают зевоту. Однако прошлой весной мой коллега Глен Вейл высказал идею столь простую, что я даже поразился: как же она никому в голову не приходила? А именно: каждый избиратель может голосовать столько раз, сколько ему вздумается. Однако есть хитрость: при каждом голосовании нужно платить, и сумма выплаты составляет квадрат суммы поданных им голосов. Следовательно, каждый дополнительный голос стоит больше, чем предыдущий. Допустим, первый голос обойдется вам в доллар. Тогда за второй голос надо будет заплатить $4. За третий - $9, за четвертый - $16 и т. д. Сто голосов будут стоить $10,000. Значит, как бы вам ни нравился кандидат, бесконечное число раз вы голосовать не сможете.

Чем хороша эта система? Чем больше людям небезразличны результаты выборов, тем больше раз они будут голосовать. Система учитывает не только то, какого кандидата вы предпочитаете, но и то, насколько он предпочтительнее. С учетом предпосылок Глена, такой расклад Парето-эффективен: состояние ни одного члена общества не может быть улучшено без ухудшения положения других лиц.

Вы скажете, что это на руку богачам. Если сравнивать с нынешней системой - да, пожалуй. Но экономист может высказать непопулярное мнение: богачи и так потребляют больше остальных - почему бы им не потреблять больше политического влияния? Возьмем нынешнюю систему пожертвований на президентскую кампанию. Очевидно, что богачи уже обладают гораздо большим влиянием, чем бедняки. Поэтому ограничение предвыборных трат в связи с упомянутой системой может быть демократичнее, чем имеющаяся система.

Еще один возможный довод против: система Глена дает сильный стимул к подкупу избирателей. Гораздо дешевле купить первые голоса множества незаинтересованных граждан, чем платить за собственное сотое голосование. Как только мы будем оценивать голоса в долларах, люди начнут рассматривать голоса в свете финансовых операций и захотят их продавать и покупать.

Конечно, наша практика («один человек - один голос») давно устоялась. Поэтому весьма сомнительно, что идею Глена опробуют на крупных политических выборах. Но два других экономиста, Якоб Гуре и Цзинцзин Чжан, исследовали схожий («аукционный») подход в лаборатории. Он не просто хорошо работает - участники даже склонны предпочитать его традиционной системе голосования.

Данная система подходит для любого случая, когда люди делают выбор между двумя возможностями: скажем, какой из двух фильмов посмотреть, или в какой ресторан пойти, или какой телевизор купить для квартиры. В подобных ситуациях денежный фонд, собранный при голосовании, делится и перераспределяется между всеми участниками. Не хотите попробовать?

Мудрость толпы

В Джеймс Шуровьески приводит условия, необходимые для того, чтобы толпа была мудрой: разнородность, независимость и особый тип децентрализации. Разнородность и независимость важны потому, что самые верные коллективные решения - это продукт противоречий и споров, а не согласия или компромисса. В правильно организованной (разумной) группе, особенно перед лицом когнитивных проблем, участников не призывают изменить свои предложения для достижения приемлемого для всех решения. Вместо этого задействуются механизмы (скажем, рыночные цены или интеллектуальные системы голосования), позволяющие собрать воедино все мнения и вывести из них усредненные коллективные суждения, демонстрирующие не то, как думает какой-либо участник группы, а фактически то, как думают они все вместе. Парадоксально, но лучший способ для группы стать разумной - позволить каждому ее участнику думать и действовать как можно более независимо.

Система с выбыванием – не панацея

А вот что пишут на эту тему Авинаш Диксит и Барри Нейлбафф в книге . Самый распространенный метод голосования - простым большинством. Однако мажоритарная система выборов дает порой парадоксальные результаты. На самом деле принцип большинства вполне эффективен в процессе выборов с участием двух кандидатов. Проблемы начинают возникать, когда в избирательный бюллетень включены три кандидата или более. Во время президентских выборов 2000 года присутствие Ральфа Нейдера в избирательном бюллетене склонило ситуацию со стороны Эла Гора в сторону Джорджа Буша. У Нейдера было 97 488 голосов во Флориде, а Буш победил с перевесом 537 голосов. Не нужно особого воображения, чтобы понять: подавляющее большинство тех избирателей, которые голосовали за Нейдера, предпочли бы Гора Бушу.

Особенность мажоритарной системы впервые обнаружил герой Французской революции маркиз де Кондорсе (1743–1794). В его честь мы проиллюстрируем фундаментальный парадокс принципа простого большинства на примере революционной Франции. Кто должен был стать новым лидером Франции после падения Бастилии? Предположим, на этот пост претендуют три кандидата: господин Робеспьер (Р), господин Дантон (Д) и госпожа Лафарж (Л). Население разделено на три группы (левые, центристы и правые) со следующими предпочтениями (рис. 2).

Рис. 2. Предпочтения населения

В голосовании принимают участие 40 левых, 25 центристов и 35 правых избирателей. В выборе между Робеспьером и Дантоном одержит верх Робеспьер с 75 голосами против 25. В выборе между Робеспьером и Лафарж победит последняя с соотношением голосов 60 против 40. Но в выборе между мадам Лафарж и Дантоном победа достанется Дантону с перевесом 65 против 35 голосов.

Кондорсе предложил определять итоги выборов по следующему принципу: подавляющее большинство голосов имеет приоритет над незначительным перевесом голосов. Согласно этой логике, победу Робеспьера над Дантоном с перевесом голосов 75 против 25 следует считать более приоритетной по сравнению с победой мадам Лафарж над Робеспьером, полученной простым большинством голосов - 60 против 40. Следовательно, Робеспьер - самый лучший кандидат, а незначительное большинство избирателей, отдающих предпочтение мадам Лафарж перед Робеспьером, - это ошибка. Таким образом, Робеспьера необходимо объявить победителем.

По иронии судьбы во Франции сейчас применяется другая система, которую часто называют выборами в два тура. Если во время первого тура выборов ни один из кандидатов не получает абсолютного большинства голосов, два кандидата с максимальным числом голосов продолжают борьбу друг с другом во втором туре. Представьте себе, что произошло бы, если бы мы применили французскую систему выборов в нашем примере с тремя кандидатами. В первом раунде лидировал бы Робеспьер, получивший 40 голосов; мадам Лафарж заняла бы второе место (35 голосов), а Дантон оказался бы последним (25 голосов).

Учитывая эти результаты, Дантон будет исключен из дальнейшей борьбы, а два других кандидата, получившие больше голосов, встретятся во втором туре. Можно предположить, что во втором туре сторонники Дантона отдадут свои голоса мадам Лафарж, которая победит в выборах с перевесом голосов 60 против 40. Это еще раз подтверждает, что процедура голосования определяет исход выборов в не меньшей степени, чем предпочтения избирателей.

Процедура, которую разработал Кондорсе, позволяет решить проблему голосования во время первичных или даже всеобщих выборов с участием трех или более кандидатов. Кондорсе предлагал определять победителя выборов посредством попарного сравнения кандидатов. При такой системе голосования президентские выборы 2000 года проходили бы так: Буш против Гора, Буш против Нейдера, Гор против Нейдера. Победителем выборов стал бы кандидат с наименьшим максимумом голосов против него.

Представьте себе, что Гор победил бы Буша с соотношением голосов 51 против 49; Гор победил Нейдера с соотношением 80 против 20, а Буш победил Нейдера с соотношением 70 против 30 голосов. В таком случае максимальное число голосов против Гора было бы 49, а это меньше максимального числа голосов против Буша (51) или Нейдера (80). По существу, Гор стал бы победителем выборов по системе Кондорсе, поскольку он превзошел остальных кандидатов в противостоянии один на один.