Комплексные числа подробное решение. Комплексные числа
Тема Комплексные числа и многочлены
Лекция 22
§1. Комплексные числа: основные определения
Символ
вводят соотношением
и называют мнимой единицей. Другими
словами,
.
Определение.
Выражение вида
,
где
,
называется комплексным числом, при этом
числоназывают вещественной частью комплексного
числаи обозначают
,
число– мнимой частьюи обозначают
.
Из такого определения следует, что действительные числа – это те комплексные числа, мнимая часть которых равна нулю.
Комплексные числа
удобно изображать точками плоскости,
на которой задана декартова прямоугольная
система координат, а именно: комплексному
числу
соответствует точка
и наоборот. На оси
изображаются вещественные числа и её
называют вещественной осью. Комплексные
числа вида
называют чисто мнимыми. Они изображаются
точками на оси
,
которую называют мнимой осью. Эту
плоскость, служащую для изображения
комплексных чисел, называют комплексной
плоскостью. Комплексное число, не
являющееся действительным, т.е. такое,
что
,
иногда называют мнимым.
Два комплексных числа называют равными тогда и только тогда, когда у них совпадают как вещественные, так и мнимые части.
Сложение, вычитание
и умножение комплексных чисел производится
по обычным правилам алгебры многочленов
с учётом того, что
. Операцию деления можно определить как
обратную к операции умножения и доказать
единственность результата (если делитель
отличен от нуля). Однако на практике
используется другой подход.
Комплексные числа
и
называют сопряжёнными, на комплексной
плоскости они изображаются точками,
симметричными относительно вещественной
оси. Очевидно, что:
1)
;
2)
;
3)
.
Теперь разделить наможно следующим образом:
.
Не трудно показать, что
,
где символ обозначает любую арифметическую операцию.
Пусть
некоторое мнимое
число, а
– вещественная переменная. Произведение
двух биномов
есть квадратный трёхчлен с действительными коэффициентами.
Теперь, имея в
распоряжении комплексные числа, мы
сможем решить любое квадратное уравнение
.Если
,
то
и уравнение имеет два комплексных сопряжённых корня
.
Если
,
то уравнение имеет два различных
вещественных корня. Если
,
то уравнение имеет два одинаковых корня.
§2. Тригонометрическая форма комплексного числа
Как говорилось
выше, комплексное число
удобно изображать точкой
.
Можно также такое число отождествлять
с радиус-вектором этой точки
.
При такой интерпретации сложение и
вычитание комплексных чисел производится
по правилам сложения и вычитания
векторов. Для умножения и деления
комплексных чисел более удобной
оказывается другая форма.
Введём на комплексной
плоскости
полярную систему координат. Тогда,
где
,
и комплексное число
можно записать в виде:
Эту форму записи
называют тригонометрической (в отличие
от алгебраической формы
).
В этой форме числоназывают модулем, а– аргументом комплексного числа.
Они обозначаются:
,
.
Для модуля имеем формулу
Аргумент числа
определён неоднозначно, а с точностью
до слагаемого
,
.
Значение
аргумента, удовлетворяющего неравенствам
,
называется главным и обозначается
.
Тогда,
.
Для главного значения аргумента можно
получить такие выражения:
,
аргумент числа
считается неопределённым.
Условие равенства
двух комплексных чисел в тригонометрической
форме имеет вид: модули чисел равны, а
аргументы отличаются на число кратное
.
Найдём произведение двух комплексных чисел в тригонометрической форме:
Итак, при умножении чисел их модули умножаются, а аргументы складываются.
Аналогичным образом можно установить, что при делении модули чисел делятся, а аргументы вычитаются.
Понимая возведение в степень как многократное умножение, можно получить формулу возведения комплексного числа в степень:
Выведем формулу
для
– корня-ой
степени из комплексного числа(не путать с арифметическим корнем из
действительного числа!). Операция
извлечения корня является обратной по
отношению к операции возведения в
степень. Поэтому
– это комплексное числотакое, что
.
Пусть
известно, а
требуется найти. Тогда
Из равенства двух комплексных чисел в тригонометрической форме следует, что
,
,
.
Отсюда
(это арифметический корень!),
,
.
Нетрудно убедиться,
что
может принимать лишьразличных по существу значений, например,
при
.
Окончательно имеем формулу:
,
.
Итак, корень
-ой
степени из комплексного числа имеетразличных значений. На комплексной
плоскости эти значения располагаются
в вершинах правильно-угольника,
вписанного в окружность радиуса
с центром в начале координат. “Первый”
корень имеет аргумент
,
аргументы двух “соседних” корней
отличаются на
.
Пример.
Извлечём корень кубический из мнимой
единицы:
,
,
.
Тогда:
,
Напомним необходимые сведения о комплексных числах.
Комплексное число - это выражение вида a + bi , где a , b - действительные числа, а i - так называемая мнимая единица , символ, квадрат которого равен –1, то есть i 2 = –1. Число a называется действительной частью , а число b - мнимой частью комплексного числа z = a + bi . Если b = 0, то вместо a + 0i пишут просто a . Видно, что действительные числа - это частный случай комплексных чисел.
Арифметические действия над комплексными числами те же, что и над действительными: их можно складывать, вычитать, умножать и делить друг на друга. Сложение и вычитание происходят по правилу (a + bi ) ± (c + di ) = (a ± c ) + (b ± d )i , а умножение - по правилу (a + bi ) · (c + di ) = (ac – bd ) + (ad + bc )i (здесь как раз используется, что i 2 = –1). Число = a – bi называется комплексно-сопряженным к z = a + bi . Равенство z · = a 2 + b 2 позволяет понять, как делить одно комплексное число на другое (ненулевое) комплексное число:
(Например, .)
У комплексных чисел есть удобное и наглядное геометрическое представление: число z = a + bi можно изображать вектором с координатами (a ; b ) на декартовой плоскости (или, что почти то же самое, точкой - концом вектора с этими координатами). При этом сумма двух комплексных чисел изображается как сумма соответствующих векторов (которую можно найти по правилу параллелограмма). По теореме Пифагора длина вектора с координатами (a ; b ) равна . Эта величина называется модулем комплексного числа z = a + bi и обозначается |z |. Угол, который этот вектор образует с положительным направлением оси абсцисс (отсчитанный против часовой стрелки), называется аргументом комплексного числа z и обозначается Arg z . Аргумент определен не однозначно, а лишь с точностью до прибавления величины, кратной 2π радиан (или 360°, если считать в градусах) - ведь ясно, что поворот на такой угол вокруг начала координат не изменит вектор. Но если вектор длины r образует угол φ с положительным направлением оси абсцисс, то его координаты равны (r · cos φ ; r · sin φ ). Отсюда получается тригонометрическая форма записи комплексного числа: z = |z | · (cos(Arg z ) + i sin(Arg z )). Часто бывает удобно записывать комплексные числа именно в такой форме, потому что это сильно упрощает выкладки. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме выглядит очень просто: z 1 · z 2 = |z 1 | · |z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + i sin(Arg z 1 + Arg z 2)) (при умножении двух комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются). Отсюда следуют формулы Муавра : z n = |z | n · (cos(n · (Arg z )) + i sin(n · (Arg z ))). С помощью этих формул легко научиться извлекать корни любой степени из комплексных чисел. Корень n-й степени из числа z - это такое комплексное число w , что w n = z . Видно, что , а , где k может принимать любое значение из множества {0, 1, ..., n – 1}. Это означает, что всегда есть ровно n корней n -й степени из комплексного числа (на плоскости они располагаются в вершинах правильного n -угольника).
Комплексные числа - это минимальное расширение множества привычных нам действительных чисел. Их принципиальное отличие в том, что появляется элемент, который в квадрате дает -1, т.е. i, или .
Любое комплексное число состоит из двух частей: вещественной и мнимой :
Таким образом видно, что множество действительных чисел совпадает с множеством комплексных чисел с нулевой мнимой частью.
Самая популярная модель множества комплексных чисел - это обычная плоскость. Первая координата каждой точки будет её вещественной частью, а вторая -мнимой. Тогда в роли самих комплексных чисел бдут выступать вектора с началом в точке (0,0).
Операции над комплексными числами.
На самом деле, если брать в расчет модель множества комплексных чисел, интуитивно понятно, что сложение (вычитание) и умножение двух комплексных числе производятся так же как соответственные операции над векторами. Причем имеется в виду векторное произведение векторов, потому что результатом этой операции является опять же вектор.
1.1 Сложение.
(Как видно, данная операции в точности соответствует )
1.2 Вычитание , аналогично, производится по следующему правилу:
2. Умножение.
3. Деление.
Определяется просто как обратная операция к умножению.
Тригонометрическая форма.
Модулем комплексного числа z называется следующая величина:
,
очевидно, что это, опять же, просто модуль (длина) вектора {a,b}.
Чаще всего модуль комплексного числа обозначается как ρ.
Оказывается, что
z = ρ(cosφ+isinφ) .
Непосредственно из тригонометрической формы записи комплексного числа вытекают следующие формулы :
Последнюю формулу называют Формулой Муавра . Непосредственно из нее выводится формула корня n-ной степени из комплексного числа :
таким образом, существует n корней n-ной степени из комплексного числа z.
Пример 1
Сложить два комплексных числа ,
Для того чтобы сложить два комплексных числа нужно сложить их действительные и мнимые части:
Просто, не правда ли? Действие настолько очевидно, что не нуждается в дополнительных комментариях.
Таким нехитрым способом можно найти сумму любого количества слагаемых: просуммировать действительные части и просуммировать мнимые части.
Для комплексных чисел справедливо правило первого класса:
–от перестановки слагаемых сумма не меняется.
Вычитание комплексных чисел
Пример 2
Найти разности комплексных чисел и, если,
Действие аналогично сложению, единственная особенность состоит в том, что вычитаемое нужно взять в скобки, а затем – стандартно раскрыть эти скобки со сменой знака:
Результат не должен смущать, у полученного числа две, а не три части. Просто действительная часть – составная: . Для наглядности ответ можно переписать так:.
Рассчитаем вторую разность:
Здесь действительная часть тоже составная:
Чтобы не было какой-то недосказанности, приведу короткий пример с «нехорошей» мнимой частью: . Вот здесь без скобок уже не обойтись.
Умножение комплексных чисел
Настал момент познакомить вас со знаменитым равенством:
Пример 3
Найти произведение комплексных чисел ,
Очевидно, что произведение следует записать так:
Что напрашивается? Напрашивается раскрыть скобки по правилу умножения многочленов. Так и нужно сделать! Все алгебраические действия вам знакомы, главное, помнить, что и быть внимательным .
Повторим, школьное правило умножения многочленов: Чтобы умножить многочлен на многочлен нужно каждый член одного многочлена умножить на каждый член другого многочлена.
Я распишу подробно:
Надеюсь, всем было понятно, что
Внимание, и еще раз внимание, чаще всего ошибку допускают в знаках.
Как и сумма, произведение комплексных чисел перестановочно, то есть справедливо равенство: .
В учебной литературе и на просторах Сети легко найти специальную формулу для вычисления произведения комплексных чисел. Если хотите, пользуйтесь, но мне кажется, что подход с умножением многочленов универсальнее и понятнее. Формулу приводить не буду, считаю, что в данном случае – это забивание головы опилками.
Деление комплексных чисел
Пример 4
Даны комплексные числа ,. Найти частное.
Составим частное:
Деление чисел осуществляется методом умножения знаменателя и числителя на сопряженное знаменателю выражение .
Вспоминаем бородатую формулу и смотрим на нашзнаменатель : . В знаменателе уже есть, поэтому сопряженным выражением в данном случае является, то есть
Согласно правилу, знаменатель нужно умножить на , и, чтобы ничего не изменилось, домножить числитель на то же самое число:
Распишу подробно:
В ряде случаев перед делением дробь целесообразно упростить, например, рассмотрим частное чисел: . Перед делением избавляемся от лишних минусов: в числителе и в знаменателе выносим минусыза скобки и сокращаем эти минусы: . Для любителей порешать приведу правильный ответ:
Редко, но встречается такое задание:
Пример 5
Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное Дано комплексное число . Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме).
знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу . В знаменателе уже есть, поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение, то есть на:
Пример 6
Даны два комплексных числа ,. Найти их сумму, разность, произведение и частное.